Теоретические сведения

Гидратация — это химическая реакция с выделением тепла, в ходе которой минеральные компоненты цемента взаимодействуют с водой. В результате таких взаимодействий образуется пластичная масса, которая после затвердевания преобразуется в камнеподобное твердое тело. Гидратация состоит из двух стадий: схватывания и твердения.

Считается, что гидратация прекращается через 3 месяца после затворения бетона. Важно отметить: выделение тепла происходит крайне неравномерно в течение указанного периода. Главная масса тепла (порядка 70%) выделяется уже в первые трое суток, а за первые семь суток – около 85% (Рис. 1.1).

Рис. 1.1 – Усредненное тепловыделение от гидратации 1 кг цемента

В ряде случаев, например, при использовании кустов буронабивных свай, тепловыделение при гидратации бетона может существенно влиять на температурный режим грунтов основания. Как следствие, при математическом моделировании таких объектов появляется необходимость учесть данный процесс.

Общий принцип, с помощью которого учитывается тепловыделение при гидратации бетона во Frost.Термо на примере сваи, представлен на Рис. 1.2.

Рис. 1.2 – Учет гидратации в модели

Создается строительный объект, представляющий собой сваю, ему задаются теплофизические свойства. Внутри сваи помещается источник тепла, имитирующий тепловыделение от гидратации. Для этих целей можно использовать инструмент СОУ, задав ему соответствующие граничные условия.

Используемая математическая модель

Расчет тепловыделения от реакции гидратации, протекающей с первоначальным ускорением и последующим замедлением, можно описать следующими уравнениями [Ушеров-Маршак, А.В. Калориметрия цемента и бетона: Избр. тр. / А.В. Ушеров-Маршак. – Харьков: Факт, 2002. – 180 с.]:

\(Q(t) = Q_{\max}Y(t)\) , \(\frac{dY(t)}{dt} = k^{1\text{/}\alpha}\alpha(1 - Y(t)\left( \ln\frac{1}{1 - Y(t)}\ \right)^{(\alpha - 1)\text{/}\alpha}\), (2)

где \(Q(t)\) – суммарное тепловыделение цемента в момент времени \(t\), Дж/кг;

\(Q_{\max}\) – максимально возможное выделение тепла от цемента, Дж/кг;

\(Y(t)\) – степень превращения, количество прогидратированного цемента в момент времени \(t\), д.е.;

\(\alpha\) – коэффициент Ерофеева, зависящий от механизма зарождения и формы роста твердой фазы цемента;

\(k\) – константа скорости процесса;

\(t\) – приведенное время твердения, с.

Решение уравнения (2) имеет вид:

\(Y(t) = Q(t)/Q_{\max}\ \ = 1 - \ e^{{- kt}^{\alpha}}\). (2)

Таким образом, зная \(Q_{\max}\) и параметры \(\alpha\) и \(k\) можно рассчитать суммарное тепловыделение \(Q(t)\ \)в любой интересующий момент времени.

Величину \(Q_{\max}\) можно взять из СП 41.13330.2012 «бетонные и железобетонные конструкции гидротехнических сооружений» Таблица Б.2, исходя из типа и марки цемента на 90-й день затвердевания бетона. Данные приведены в Табл. 2.1.

Табл. 2.1 – Характеристики тепловыделения бетона

Тип цемента	Марка цемента	Тепловыделение бетона, кДж / ккал, на 1 кг цемента в возрасте бетона, сут.
		3	7	28	90
Портландцемент	300	210 / 50	250 / 60	295 / 70	300 / 72
	400	250 / 60	295 / 70	345 / 82	355 / 85
	500	295 / 70	335 / 80	385 / 92	400 / 95
Пуццолановый портландцемент, шлакопортландцемент	300	175 / 42	230 / 55	270 / 65	280 / 67
	400	210 / 50	265 / 63	320 / 77	335 / 80

После преобразования формулы (2) уравнение принимает вид:

\(1 - Y(t) = \ e^{{- kt}^{\alpha}} \Rightarrow 1/(1 - Y(t)) = e^{{kt}^{\alpha}}\) , (3)

Логарифмируя последнее выражение, получим:

\(\ln\frac{1}{1 - Y(t)} = kt^{\alpha} \Rightarrow ln\ \left( \ln\frac{1}{1 - Y(t)} \right) = \ln k + \alpha\ln t.\) (4)

Таким образом, для определения параметров \(\alpha\) и \(k\) нужно построить линейную регрессию зависимости величины \(ln\ \left( \ln\frac{1}{1 - Y(t)} \right)\) от \(\ln t\) вида:

\({\xi = b + \alpha\eta,\ \ \ \xi = ln\ }\left( \ln\frac{1}{1 - Y(t)} \right),\ \ \eta = \ln t.\) (5)

Построив такую регрессию, мы получим значения \(\alpha\) и \(k\ = \ e^{b}\).

Если в формуле (2) левую и правую часть умножить на \(Q_{\max}\) и взять производную, то получится функция темпа гидратации \(Q'(t)\):

\(Q'(t) = Q_{\max}\ {\alpha\ k\ t}^{\alpha - 1}e^{{- kt}^{\alpha}}.\) (6)

Иными словами, по полученной формуле (6) высчитывается порция тепла, выделяемая из одного килограмма цемента в заданный момент времени (в секундах). В первые 3 дня выделяется значительная часть тепла, а зависимость тепловыделения изменяется резко настолько, что невозможно провести анализ. На эти дни проводится экстраполяция. Об этом говорится в ГОСТ 310.5-88 «Цементы. Метод определения тепловыделения». Поэтому на дни с нулевого по второй тепловыделение принимается постоянным и приравнивается к порции тепла, выделенного за 3 суток (Табл. 2.1) и разделенного на количество секунд в 3 сутках:

\(Q'(t) = \left\{ \begin{array}{r} Q_{\max}\ {\alpha\ k\ t}^{\alpha - 1}e^{{- kt}^{\alpha}},\ \ t \geq 259\ 200\ с. \\ \frac{Q_{3days}}{t},\ t < 259\ 200\ с.\ \ \end{array} \right.\ ,\) (7)

где \(Q_{3days}\) – суммарное тепловыделение за первые 3 суток после затворения бетона;

\(t_{3days}\ =\) 259200 с.

Следующим шагом вычисляется порция тепла, выделяемая всей сваей на выбранный момент времени (в секундах). Для этого значение темпа тепловыделения умножается на объем сваи и умножается на расход цемента на 1 м³ бетона.

Расход цемента на 1 м³ зависит от класса бетона. Из СНиП 82-02-95 «Федеральные (типовые) элементные нормы расхода цемента при изготовлении бетонных и железобетонных изделий и конструкций» (Табл.1, Табл.4) известно количество цемента марки 400 на 1 м³ тяжелого бетона заданного качества, а также коэффициенты перевода расхода на марки 300 и 500 при необходимости. Данные приведены в Табл. 2.2 и Табл. 2.3.

Табл. 2.2 – Базовые нормы расхода цемента для тяжелого бетона

Класс прочности бетона	Базовые нормы расхода цемента марки 400 для тяжелого бетона при твердении в естественных условиях, кг/м3
В7,5	180
B10	200
B12,5	225
B15	255
B20	305
B22,5	335
B25	365
B30	415
B35	480
B40	550

Табл. 2.3 – Переходные коэффициенты для определения норм расхода цемента

Проектный класс бетона по прочности на сжатие	Коэффициент перехода от марки цемента 400
	300	500
В15 и менее	1,13	0,85
От В20 до В30	-	0,9
В35 и более	-	0,92

Объем затраченного бетона на одну сваю V [м³] рассчитывается исходя из формы и геометрических размеров скважины:

• прямоугольная: \(V = A \cdot B \cdot L\);

• круглая: \(V\ = \ \pi \cdot D^{2} \cdot L\ /\ 4\),

где \(A,\ B\) – длина и ширина прямоугольной скважины, м;

\(L\) – глубина скважины, м;

\(D\) – диаметр круглой скважины, м.

После этого рассчитывается тепловой поток \(q\), Вт/м²_. Эта величина показывает, какое количество тепла выделяется с единичной площади боковой поверхности сваи. Для этого тепловыделение от всей сваи на выбранный момент времени делится на площадь боковой поверхности сваи. Однако из-за того, что мы используем в качестве источника тепла СОУ, для расчетов мы будем использовать площадь боковой поверхности СОУ \(S\). Нужно расположить его внутри сваи и выбрать его размер таким образом, чтобы он был условно точечным (Рис. 2.1). Для этого следует выбирать радиус СОУ в 10-20 раз меньше радиуса сваи. Длина СОУ \(h\) обычно выбирается чуть меньше глубины скважины L.

Рис. 2.1 – Расположение источника тепла в свае

Площадь боковой поверхности СОУ\(\ S\ \)рассчитывается как: \(S = 2\pi rh\),

где \(r\) – радиус СОУ (источника тепла в свае), м;

\(h\) – длина СОУ, м.

Далее рассчитанный тепловой поток \(q\) импортируется в ГУ на СОУ, которое назначается на СОУ внутри сваи.

Создание источника тепла во Frost.Термо и задание его свойств

В Базе данных Frost.Термо необходимо создать граничное условие на СОУ в соответствующей вкладке. Температура, коэффициент теплообмена, разность температур, тепловое сопротивление термостабилизатора принимаются равным нулю. Флаг «Автоматическое отключение СОУ» должен быть в выключенном состоянии. В графе «Радиус трубы испарителя» задается значение радиуса СОУ, площадь испарителя и площадь конденсатора приравниваются 1 (Рис. 3.1).

Рис. 3.1 – Граничное условие для источника тепла

Как указывалось в предыдущем разделе, Радиус трубы испарителя (радиус СОУ) должен быть в 10-20 раз меньше радиуса сваи. По умолчанию установлено значение 0,01685 м. Чтобы рассчитать тепловой поток, нужно воспользоваться Калькулятором условий теплообмена (Рис. 3.2, Рис. 3.3).

В данном окне необходимо определить начальные параметры для расчета:

1. Тип цемента: Портландцемент, Шлакопортландцемент.

2. Марка цемента: 300, 400, 500 (для некоторых типов цемента могут быть доступны не все варианты марок).

3. Флаг «Рассчитать массу цемента» в свае: в состоянии ВКЛ позволяет ввести параметры для расчета массы цемента в свае в поля 4–7, в состоянии ВЫКЛ вместо полей 4–7 отобразится поле 8 для ввода массы цемента.

4. Длина сваи – поле для ввода длины части сваи, находящейся в грунте.

5. Форма поперечного сечения сваи: круглая (отображается поле 6 для ввода диаметра сваи), прямоугольная (вместо поля 6 отображаются поля для ввода длины сторон А и Б).

6. Диаметр сваи / Длина стороны А и Длина стороны Б.

7. Класс прочности бетона: В7,5; В10; В12,5; В15; В20; В22,5; В25; В30; В35; В40.

8. Масса цемента в свае – поле для ввода массы цемента в свае, находящейся ниже поверхности земли.

9. Длина источника тепла – поле для ввода длины подземной части СОУ, используемого в качестве источника тепла.

10. Радиус источника тепла – поле для ввода радиуса подземной части СОУ, используемого в качестве источника тепла.

11. Момент начала гидратации – поле для ввода даты начала гидратации.

Рис. 3.2 – Интерфейс Калькулятора условий теплообмена с выбранным расчетом теплового потока от гидратации и активированным флагом расчета массы бетона в свае

Рис. 3.3 – Интерфейс Калькулятора условий теплообмена с выбранным расчетом теплового потока от гидратации и деактивированным флагом расчета массы бетона в свае

После ввода всех требуемых параметров для расчета в области «Результат» будет рассчитан тепловой поток. В дополнительном окне, открываемом по нажатию на кнопку (1), его можно будет увидеть и скопировать (2). Пример рассчитанного теплового потока представлен на Рис. 3.4.

Рис. 3.4 – Калькулятор условий теплообмена и дополнительное окно с рассчитанной кривой теплового потока от гидратации

Значения теплового потока из данного окна необходимо импортировать в ранее созданное ГУ в базе данных в одноименное поле, раскрыв дополнительное окно (1) и нажав кнопку вставки (2) (Рис. 3.5). Подтверждение осуществляется кнопкой «Применить».

Рис. 3.5 – Импорт теплового потока в ГУ на СОУ

Далее следует на «Редакторе 2D» создать вертикальные СОУ в местах расположения свай с помощью соответствующего инструмента (Рис. 3.6).

Рис. 3.6 – Инструмент создания вертикального СОУ

После необходимо задать размеры СОУ во вкладке «Положение и принадлежность»: длина подземной части меньше длины сваи на удвоенный минимальный размер по вертикальной оси элемента расчетной сетки, абсолютная координата = абсолютной координате поверхности земли, длина теплоизолятора = 0 (Рис. 3.7). При необходимости можно изменить положение СОУ в полях с подписями X и Y.

Рис. 3.7 – Задание размеров и положения СОУ

В режиме редактирования «Объектов» на данные СОУ задается созданное ГУ с тепловым потоком (Рис. 3.8). Назначить ГУ на СОУ можно также и на «Редакторе 3D», и на «Расчетной сетке».

Рис. 3.8 – Задание ГУ на СОУ

После этого нужно завершить построение модели и запустить расчет. Сравнительные результаты расчетов с учетом гидратации и без представлены в Табл. 3.1. Начальная температура бетона принята равной 20 °С.

Табл. 3.1– Сравнительные результаты расчетов сваи с учетом гидратации и без

День от затворения бетона	Без учета гидратации	С учетом гидратации
0
3
28

Разница в расчетах очевидна, а в случае моделирования свайного поля буронабивных свай оттаивание будет еще значительнее.